以下是关于谷歌浏览器插件请求跨域失败快速排查技术案例的相关内容：
1. 检查跨域请求设置：在Chrome浏览器中，每个标签页或窗口都有独立的安全上下文。如果插件试图从一个来源发起对另一个来源的请求，需要确保目标服务器已正确设置允许跨域的响应头，如`Access-Control-Allow-Origin`。同时，检查插件的请求方式是否符合跨域要求，例如是否使用了正确的HTTP方法（GET、POST等）和请求头。
2. 自动诊断方法：可以通过监听插件的请求事件，捕获请求失败的信息，包括请求的URL、状态码等。分析状态码和错误信息，有助于确定问题的具体原因。例如，如果状态码为403，可能表示服务器禁止了跨域请求；如果状态码为500，则可能是服务器内部错误导致请求失败。
3. 利用Chrome扩展特性绕过跨域限制：开发一个浏览器插件，并在插件中嵌入一个系统项目。在项目中需要调用后端API时，由于同源策略的限制，直接请求可能会失败。为了解决这个问题，可以利用Chrome扩展的特性来绕过跨域限制。具体来说，就是在插件的`service_worker.js`中发起接口调用，并将插件的请求转发到这个`service_worker.js`中使用。这样，就可以避免跨域问题，因为所有请求都通过插件自身的代码来处理。
4. 安装跨域插件进行调试：如果服务器不能配合进行跨域设置，但在开发期间需要调试方便，可以让开发机的IP可以跨域访问服务器接口。这时，可以在开发机的Chrome上安装一个跨域插件，如“Switcheroo Modifier”或“CORS Unblock”。这些插件并非万能，但可以在一定程度上解决跨域问题，特别是在开发阶段。
综上所述，通过以上步骤，你可以快速排查并解决谷歌浏览器插件请求跨域失败的问题。如果问题依然存在，建议进一步检查服务器端的设置或联系相关技术支持以获取更多帮助。